In welcher Beziehung steht die Messung eines Quantenzustands mithilfe einer Observablen zu Eigenvektoren und Eigenwerten?
Beim Messen eines Quantenzustands mithilfe einer Observablen spielt das Konzept von Eigenvektoren und Eigenwerten eine wichtige Rolle. In der Quantenmechanik werden Observablen durch hermitesche Operatoren dargestellt, mathematische Konstrukte, die messbaren physikalischen Größen entsprechen. Diesen Operatoren ist eine Reihe von Eigenwerten und Eigenvektoren zugeordnet.
Ein Eigenvektor einer Observablen ist ein Quantenzustand, der bei Messung der Observablen einen bestimmten Wert für die entsprechende physikalische Größe ergibt. Mit anderen Worten: Die Messung der Observablen auf einem Eigenvektor ergibt immer einen bestimmten Eigenwert. Mathematisch lässt sich dies als Gleichung ausdrücken:
A |ψ⟩ = a |ψ⟩
Dabei ist A die Observable, |ψ⟩ ein Eigenvektor, a der entsprechende Eigenwert und das Symbol |…⟩ einen Quantenzustand.
Der Eigenwert a stellt die möglichen Ergebnisse der Messung der Observablen A dar. Jeder Eigenvektor |ψ⟩ entspricht einem anderen Eigenwert a. Die Menge aller möglichen Eigenwerte einer Observablen wird als Spektrum der Observablen bezeichnet.
Um einen Quantenzustand mithilfe einer Observablen zu messen, müssen wir das System in einer Überlagerung seiner möglichen Eigenvektoren vorbereiten. Dies kann durch Anwenden einer einheitlichen Transformation auf das System erreicht werden. Der resultierende Zustand ist eine lineare Kombination der Eigenvektoren mit komplexen Koeffizienten, die als Wahrscheinlichkeitsamplituden bekannt sind.
Wenn die Messung durchgeführt wird, kollabiert das System in einen der Eigenvektoren mit einer Wahrscheinlichkeit, die durch das Quadrat der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsamplitude bestimmt wird. Das Messergebnis ist der Eigenwert, der dem Eigenvektor zugeordnet ist.
Betrachten Sie beispielsweise die Observable, die der Position eines Teilchens in einer Dimension entspricht. Die Eigenvektoren dieser Observablen sind die Positionseigenzustände, dargestellt als |x⟩, wobei x eine bestimmte Position entlang der Dimension ist. Die Eigenwerte sind die möglichen Positionen, die das Teilchen einnehmen kann.
Wenn wir das Teilchen in einer Überlagerung von Positionseigenzuständen wie (|x1⟩ + |x2⟩)/√2 vorbereiten und die beobachtbare Position messen, erhalten wir entweder x1 oder x2 als Messergebnis, jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2.
Bei der Messung eines Quantenzustands mithilfe einer Observablen stellen die Eigenvektoren die möglichen Messergebnisse dar, während die Eigenwerte den Werten entsprechen, die bei der Messung erhalten werden können. Die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Eigenwert zu erhalten, wird durch die quadrierte Größe der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsamplitude bestimmt.
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